Selon cette théorie, la vitesse de la lumière ne devait dépendre que des propriétés électriques et magnétiques du milieu, ce qui posait un problème dans le cas où ce milieu est le vide car cela suggère une indépendance de la vitesse de la lumière par rapport au référentiel de l'instrument de mesure : si on émet un faisceau lumineux depuis la fusée vers l'avant ou vers l'arrière, la vitesse de la lumière mesurée par rapport à la Terre sera la même, contrairement au boulet. / − ⇒ . . < . Des formules de transformation pour passer d'un observateur à un autre furent établies par Hendrik Lorentz avant 1904[note 2],[3] ; il s'agissait d'équations de compatibilité dont la signification n'était pas claire aux yeux de leur auteur. Logunov., directeur de l'Institut de physique des hautes énergies (Protvino, Russie), membre de l'Académie des sciences de Moscou. , , la constante cosmologique, a été introduite par Einstein pour permettre des solutions statiques au modèle cosmologique issu de l'équation d'Einstein. [35],[34]. R − = ). On peut évidemment retrouver ce résultat directement sur la formule donnant w en fonction de w ’ et v. En mécanique newtonienne on étudie le mouvement d'un mobile en suivant sa position Un autre exemple est celui de l'équation de Schrödinger en mécanique quantique où l'équation est linéaire par rapport à la fonction d'onde. Δ p − 2 t Les tomes 2 et 3 sont exclusivement consacrés aux théories de la relativité. La relation linéaire la plus générale possible, ⦠, ce qui correspond à la vitesse Autrement dit le temps de traversée de l'atmosphère dans leur référentiel propre est de 3 demi-vies et non 50, soit 6 microsecondes seulement (et non 100 microsecondes). 2 La relativité dâEinstein est par bien des aspects une théorie étrange. {\displaystyle {\vec {r}}_{//}} En raison du caractère hautement non linéaire des équations, il n'existe pas de solution analytique générale pour une distribution quelconque de matière[14],[15]. 2 raisons : depuis 1905, on connait la relativité restreinte, et lâéquation de Schrödinger est incompatible avec les principes de la relativité (invariance des lois de la physique par changement de référentiel galiléen). = Câest la conservation locale de lâénergie en relativité restreinte ! E invariant par changement de référentiel, permet d'y appliquer facilement les transformations de Lorentz pour un changement de référentiel inertiel dans le cas où {\displaystyle {\mathcal {R'}}} . = Cette équation démontre que dans une transformation de Lorentz le rayon vecteur qui représente l'intervalle entre deux événements (ds²) et le temps propre restent invariables. Si le photon devait s'avérer avoir une masse (voir à ce sujet les propriétés physiques du photon), la relativité (ou plus exactement sa description mathématique) ne serait pas remise en question, mais la lumière aurait une vitesse légèrement inférieure à c, et qui dépendrait des référentiels, ainsi d'ailleurs que de l'énergie des photons la constituant, et donc de sa longueur d'onde[14]. r ∗ m 2 ] 2 L'approximation des champs faibles et des mouvements lents permet de retrouver l'équation de Poisson de la gravitation de Newton : Il est possible de modifier l'équation des champs d'Einstein en introduisant un terme proportionnel à la métrique : (on précisera que cette équation est vraie dans un système d'unités géométriques tel que G = c = 1, sinon on doit lire : (8ÏG/c4)Tμν. ∗ v R 2 2 1 2 . On peut se passer du second postulat pour déterminer les équations des transformations de Lorentz à condition d'introduire une hypothèse supplémentaire au premier postulat : l'espace-temps est homogène et isotrope. 1 Δ 1 , étant donné une distribution de matière et d'énergie exprimée sous la forme d'un tenseur énergie-impulsion. ≠ − 2 Pour simplifier le calcul on travaille d'abord dans le cadre de transformations dites « spéciales », caractérisées par le fait que les systèmes d'axes x, y, z et x′, y′, z′ sont parallèles, que les axes O′x′ et Ox sont communs et parallèles à la vitesse u L'équation des géodésiques(extrait du manuscrit Les fondations de la Relativité Générale §9 1916). γ Elle a mené à la prédiction de l'existence de trous noirs et aux divers modèles de l'évolution de l'univers. = − ′ est nécessaire pour expliquer certaines observations. M > {\displaystyle \alpha '=\operatorname {artanh} (0{,}75)=0{,}973\,.} Il formalise un constat de Galilée selon lequel le mouvement rectiligne uniforme est « comme rien » pour l'observateur appartenant au référentiel mobile. 2 − 2 3 Dans tous cas la Théorie débouche sur des conclusions qui « bouleversent » nos habitudes de pensées déjà pourtant malmenées par la théorie de la Relativité Restreinte. [ Une vérification expérimentale a été menée en 1960 par les physiciens Robert Pound et Glen Rebka en accélérant des atomes, d'un cristal radioactif vibrant autour de leur position d'équilibre, par augmentation de la chaleur, ce qui a donné une mesure plus petite de la fréquence des rayons gamma émis (c'est-à-dire une dilatation de leur période), les mesures étant en accord avec les prévisions avec 10 % de marge d'erreur[15]. 2 {\displaystyle \theta =0{,}973\,.} On va commencer par la relativité restreinte, qui est (beaucoup) plus simple. ⊥ En posant 2 3 Henri Videau Introduction à la relativité restreinte automne 2001 Expression des transformations Montrer qu'elles forment un groupe, translations Montrer que l'équation de propagation d'une onde électromagnétique n'est pas invariante Montrer que l'équation de Schrödinger est invariante Transformations galiléennes En 1912, Lorentz et Einstein furent proposés pour un prix Nobel conjoint pour leur travail sur la théorie. = En effet si les composantes spatiales de ce quadrivecteur s'identifient de façon évidente à celles d'une impulsion classique, les physiciens ont été conduits par Einstein à identifier la composante temporelle de ce quadrivecteur avec l’énergie de la particule considérée. 2 , alors 1 Σ d G Devenu « principe de relativité », son énoncé sera ensuite modifié par Einstein pour être étendu aux référentiels non inertiels : de « restreinte », la relativité deviendra « générale », et traitera de plus de la gravitation, ce que ne fait pas la relativité restreinte. Similarly, Eq. M = Elles s'écrivent : où Alexandre Ponce et Guillaume Lebrat (2010). et a On détecte en astronomie des particules porteuses d'une énergie colossale : les rayons cosmiques. d 1 1 La masse donnée par : est invariante par changement de référentiel (elle est la même dans tout référentiel). Si les seuls échanges d'énergie concernent précisément cette énergie cinétique (conservation de la quantité de mouvement du système), on dit que le choc est élastique. E t ( Dans cette situation particulière la formule générale devient. . ralentissent quand elles sont vues depuis 2 En relativité restreinte, c'est le quadrivecteur énergie-impulsion global d'un système isolé qui se conserve, et c'est aussi une propriété compatible et indépendante du principe de relativité d'Einstein. Cela a été fait par Poincaré et ensuite par MM. Le temps est le même dans chacun des référentiels R et Râ, ce qui nâest plus le cas en relativité restreinte où t â tâ. 2 Δ 2 θ La définition du quadrivecteur énergie-impulsion, utilisant les éléments 1 s c » par la masse « m » de la particule devient un quadrivecteur impulsion. Montrer alors que la R ′ et α Σ Pour lever la difficulté de la représentation de 4 dimensions on se limite souvent à 2 dimensions, une d'espace et une de temps. Voyons ce que ces chiffres impliquent pour les facteurs relativistes existant entre le référentiel propre de la particule et le référentiel terrestre. Λ − t {\displaystyle \Delta t'=-\gamma v\Delta x/c^{2}\neq 0} La répartition des rôles de tel ou tel savant dans l'émergence de la théorie de la relativité restreinte a fait l'objet d'une controverse, en particulier dans les années 2000. 2 Formalisme quadridimensionnel 3. = ( = Cette invariance par rapport aux changements de référentiel, et la vérification des formules du quadrivecteur impulsion du système font que cette définition répond à toutes les propriétés attendues pour une masse. 2 En écrivant l'énergie d'un électron comme la somme de son énergie au repos mc2 et de son énergie cinétique K, on peut écrire l'énergie totale du système avant la collision comme : La loi de conservation de l'énergie dit que E = E1 + E2 et par conséquent. Elle est l'Åuvre en 1963 de Roy Kerr, mathématicien néo-zélandais. 2 ( ′ c − x c {\displaystyle E_{\mathrm {rest} }=mc^{2}.} z v On a donc (théorème de Pythagore) : On retrouve donc de façon simple la formule antérieure donnant la dilatation du temps. θ Cette courbure de la géométrie autour d'une source de matière est alors interprétée comme le champ gravitationnel de cette source. Δ Le carré de l'intervalle entre deux évènements peut être positif ou négatif. . {\displaystyle {\vec {\beta }}} → t r Δ 0 s est nul : ) p C'est ce qui se passe dans les réactions de fission, de fusion et d'annihilation de particules. En fait Schrödinger avait commencé par écrire une équation compatible avec la relativité. Le temps et les trois coordonnées d'espace jouant des rôles indissociables dans les équations de Lorentz, Hermann Minkowski les interpréta dans un espace-temps à quatre dimensions. Or l'énergie Ej* de chaque particule j (dans le repère R*) est la somme de l'énergie mj c2 correspondant à sa masse au repos mj additionnée à son énergie cinétique Kj* (toujours dans le repère R*), c'est-à-dire : 2 ∧ a Mais deux horloges en mouvement l'une par rapport à l'autre ne peuvent pas être synchronisées, la simultanéité ne pouvant être la même pour deux référentiels inertiels en mouvement l'un par rapport à l'autre. p γ E ′ → Avant le choc l'impulsion de l'électron incident est p → c Cette formule montre que cos θ est positif et donc que les directions des électrons de l'état final font entre elles un angle aigu. : ( Le membre de gauche sera donc de la forme r − T R M Cela détermine la célérité de l'o⦠− L’équivalence de la masse et de l'énergie est donnée par la célèbre relation E=mc2. t {\displaystyle \ \Delta \tau } v sous la forme de : D'autre part comme les composantes de la vitesse de la particule dans le référentiel du laboratoire sont : En tenant compte du facteur de dilatation du temps entre dt et d 2 Les nombres considérables que l'on obtient montrent que leur analyse exige l'emploi des formules de la relativité restreinte. {\displaystyle {\mathcal {R}}} 1,946 {\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(t,r,\theta ,\phi )} , = − 2 x c 1 Relativité générale pour débutants Michel Le Bellac ... restreinte, il est manifeste que la contribution dâEinstein a la relativit e g en erale est unique, et que sans lui la relativit e g en erale aurait probablement attendu quelques dizaines dâann ees avant dâ^etre invent ee. {\displaystyle \ \Delta t^{2}} {\displaystyle \tau \,} 0,973 {\displaystyle \mathbf {u} \,} sont connus et restent inchangés au cours du temps, dans ce référentiel. Jean-Pierre Provost & Marie-Antoinette Tonnelat. et les variations de ses coordonnées spatiales sont nulles , la courbe décrite par cet événement dans un espace à quatre dimensions (trois pour l'espace, une pour le temps) prenant alors le nom de « ligne d'univers ». {\displaystyle \tanh \theta =v/c\equiv \beta \qquad {\text{soit}}\qquad \theta =\operatorname {artanh} (v/c)\equiv \operatorname {artanh} \,\beta }, Avec ces notations on obtient Δ Dans cette optique l’invariance de l'intervalle d'espace-temps entre deux événements est un élément fondateur de la théorie relativiste[19]. ) Les formules traduisant la conservation du quadrivecteur du système formé par ces deux particules permettent d'analyser la collision. Nous avons montré quelles étaient les conséquences de la relativité sur lâénergie et le temps. v E u L'équation de champ d'Einstein est comprise comme une équation permettant de connaître le tenseur métrique m 2) Expérience dâIves (1938) On ⦠En transmettant des doubles de l'unité de mesure et de l'horloge de référence d'un référentiel inertiel à l'autre, on leur fait subir une accélération (pour passer de l'immobilité dans l'un à l'immobilité dans l'autre), ce qui implique que ces doubles ne sont pas dans un référentiel inertiel durant cette phase mais dans un référentiel accéléré : on peut imaginer que dans ce référentiel transitoire, leurs propriétés ne sont plus les mêmes. . ′ . t (car l'énergie dépend du référentiel dans lequel on la calcule !) Par la suite, il a qualifié cette introduction de « plus grande erreur de sa vie ». Les transformations de Lorentz permettent de s'en assurer : de manière générale on sait que , on a s t Au moins de ce fait, le temps propre est invariant par changement de référentiel. = ′ {\displaystyle \ E_{1}^{2}-E_{2}^{2}=m_{1}^{2}.c^{4}-m_{2}^{2}.c^{4}} 2 soit θ Ce phénomène est le fondement du paradoxe des jumeaux. Einstein se verra finalement décerner le prix Nobel de physique en 1921[9] « pour ses apports à la physique théorique, et spécialement pour sa découverte de la loi de l'effet photoélectrique »[10]. 2 La valeur de la masse totale M* du système ainsi obtenue est indépendante du référentiel dans lequel on l'évalue : θ The rest energy is related to the mass according to the celebrated equation discussed above: E r e s t = m c 2 . , mais E p Après quelques articles d'introduction à la Relativité Générale, notre but dans cet article est de rentrer dans le vif du sujet et de décrire le mouvement d'une particule libre dans une région soumise à la gravité. ν Exercices de relativité restreinte. E 1 0 2 Supposons donc qu'un rayon cosmique soit un proton de 1020 eV. 0,973 c y 2 {\displaystyle {\mathcal {P}}} Théorie de la relativité restreinte. Dans les exemples qui suivent nous allons être amenés à considérer deux événements successifs. Les vecteurs impulsions des deux particules sont tracés sur la figure ci-contre. Elle représente un ensemble d'équations différentielles[13] aux dérivées partielles hautement[14],[15] non-linéaires du second ordre[16]. Dans un accélérateur de particules il arrive qu'une particule de très haute énergie heurte une particule au repos et communique à cette dernière une partie de son énergie cinétique. 0 v {\displaystyle (g_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma }}\right)&0&0&{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\ \\0&-{\frac {\Sigma }{\Delta }}&0&0\\0&0&-\Sigma &0\\{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}&0&0&-\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\right)\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\ }. β 1 , − ν En travaillant dans le système d'unités géométriques, où G = c = 1, on a : La partie de gauche représente la courbure de l'espace-temps telle qu'elle est déterminée par la métrique et l'expression de droite représente le contenu masse/énergie de l'espace-temps. Δ Démonstration : E=mc 2 M x = c E g + 2 1 et . Accessibles au niveau du lycée (Première S). The mass of systems measured in their center of momentum frame (where total momentum is zero) is given by the total energy of the system in this frame. =
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